日前，北理工数学与统计学院谢迅副研究员在国际数学顶级学术期刊《International Mathematics Research Notices》上发表题为“Gelfand–Kirillov Dimensions of Highest Weight Harish-Chandra Modules for SU(p,q)”的研究论文。该论文给出了SU(p,q)的具有最高权的单模的Gelfand-Kirillov维数的一个算法。这个算法可以用来研究这些单模的Gelfand-Kirillov维数以及伴随簇的一些性质。

　　Gelfand-Kirillov维数是由Gelfand-Kirillov在1966年提出的一个数学概念。现在这个概念已成为李群李代数的表示论度量无限维模大小的一个重要不变量。论文研究的对象是Hermitian型李群SU(p,q)的最高权Harish-Chandra模的Gelfand-Kirillov维数。论文给出了一个简明的直接从最高权出发得到Gelfand-Kirillov维数的算法。应用的一个基本工具是Lusztig 在1984年的一篇文章中简略提及的一个公式，Lusztig的这个公式给出了某些最高权模的Gelfand-Kirillov维数与对应Weyl群的元素的a-函数的一个非常漂亮的公式。论文将这个公式推广到最一般的形式，用以连接半单李代数的任意最高权单模的Gelfand-Kirillov维数和某些Weyl群元素的a-函数。

　　A型李代数的Weyl群是对称群，其a-函数可以由著名的RSK算法给出。论文的第二个想法则是通过RSK算法直接作用在最高权上得到杨图，进而给出a-函数与Gelfand-Kirillov维数。这样可以省去通过最高权找相对应Weyl群的元素的步骤。

　　由于SU(p,q)的具有最高权的Harish-Chandra模的最高权都是(p,q)-支配的，因此，论文着重研究了A型的具有(p,q)-支配权的最高权模的Gelfand-Kirillov维数。其结论是这些权对应的杨图最多两列，因此他们对应的最高权模的Gelfand-Kirillov维数可以由他们对应杨图的第二列的长度所完全确定，并给出了一个组合模型，解释如何从(p,q)-支配最高权直接读出杨图第二列的长度，进而得出相应Gelfand-Kirillov维数的一些性质。最后，论文重新证明了一些关于SU(p,q)的酉表示的Gelfand-Kirillov维数的结论，并且确定了SU(p,q)的最高权单模的伴随簇。

　　这项研究为Gelfand-Kirillov维数和伴随簇的研究引入了新方法，即使用Hecke代数的a函数的方法。通过这个方法，可以引入一些组合的方法来研究与Gelfand-Kirillov维数和伴随簇相关的问题。这为后续研究工作提供了重要的参考价值，这是这篇文章的一大亮点。这篇文章的方法可以考虑推广到其他经典型的李群的研究，这里面有许多有意思的问题值得进一步探讨。特别是关于BCD型a函数的组合算法的研究，目前相关的工作正在研究之中。

　　该项研究工作是谢迅副研究员与苏州大学白占强副教授合作完成，谢迅为通讯作者。本项工作得到星空手机网页版登录入口,星空(中国)学术启动计划的资助。

　　论文链接地址： https://doi.org/10.1093/imrn/rnx247

 

附研究团队以及个人简介：

　　星空手机网页版登录入口,星空(中国)数学与统计学院代数团队积极开展国际合作研究和学术交流，团队负责人胡峻教授以及团队成员魏丰教授、万金奎教授、张杰副教授、Michael Ehrig副教授，谢迅博士等与澳大利亚悉尼大学、巴西Universidade Federal do ABC大学、美国弗吉尼亚大学、加拿大Sherbrooke大学的研究人员都有合作。团队成员分别开展表示论与李理论、代数组合、丛代数的交叉研究，表现出强劲的发展势头。

　　谢迅，副研究员，北理工数学与统计学院代数团队成员之一。博士毕业于中国科学院大学，在北京大学做博士后研究，后到悉尼大学访问一年。长期从事代数群、量子群、Hecke代数的研究。目前，主持国家自然科学基金青年项目，已在International Mathematics Research Notices，Journal of Algebra, Journal of Pure and Applied Algebra 上发表论文4篇。